Aportado por Fernando Quesada
Estuve leyendo el otro día un artículo sobre el coeficiente intelectual y según este, Marilyn vos Savant es la persona con mayor CI actualmente. Busqué información sobre ella, ví que era periodista y que en una de sus columnas publicó un problema de probabilidad muy interesante, el problema de Monty Hall.
El problema y su razonamiento me impresionó, y por eso creo que sería de utilidad compartirlo con mis compañeros en el blog
El
problema de Monty Hall
En un famoso concurso televisivo, el participante es
requerido para elegir una puerta entre tres (todas cerradas) y su premio
consiste en llevarse lo que se encuentra detrás de la puerta elegida. Se sabe
que una de ellas oculta un coche y que tras las otras dos hay sendas cabras.
Una vez que el concursante ha elegido una puerta y comunica su elección, Monty,
el presentador, abre una de las puertas restantes y muestra que detrás de ella
hay una cabra. En este momento se le da la opción al concursante de cambiar de
puerta si lo desea. ¿Debe el concursante mantener su elección original o
escoger la otra puerta?
Solución:
El participante debe cambiar su elección inicial para aumentar las probabilidades de
llevarse el coche.
Veamos porqué. La probabilidad de que el concursante
escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por
lo que la probabilidad de perder, o sea, de que el coche se encuentre en una de
las puertas que no ha escogido es de 2/3.
¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras
una de las otras dos puertas? Si el jugador ha escogido en su primera opción la
puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el
presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas sin premio. En este caso,
el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.
Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción
(con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene una opción para abrir
una puerta que contiene la cabra. En ese caso, la puerta que no abrió el
presentador, tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.
En resumen, si mantiene su elección original gana si
escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que, si
cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad
de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar siempre su elección.
Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos
puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es
errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador.
Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador tal
como acabamos de ver.
Una forma más clara de verlo es replantear el problema.
Si en lugar de haber sólo tres puertas hubiese 100, y tras la elección original
el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas solo
hay cabras. Si el concursante no cambiase su elección ganaría el coche sólo si
lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras que, si la cambia,
ganaría si no lo ha escogido originalmente (y por tanto es lo que resta tras
abrir las 98 puertas), ¡99 de cada 100 veces!
